Rezonans Ruch harmoniczny Drgania wymuszone

Dodatek: Amplituda i faza w ruchu harmonicznym wymuszonym

W module tym pokazujemy jak wyprowadzić równania na amplitudę i fazę w ruchu harmonicznym wymuszonym, dyskutowanym w module Drgania wymuszone i rezonans.

Poszukujemy rozwiązania równania różniczkowego

(1)

\( \frac{d^{{2}}x}{{dt}^{{2}}}+\frac{1}{\tau}\frac{{dx}}{{dt}}+\omega _{{0}}^{{2}}x=\alpha_{{0}}\sin{\omega t} \)

w postaci

(2)

\( x(t)=A\sin({\omega t}+\varphi) \)

W tym celu obliczamy odpowiednie pochodne funkcji ( 2 ) \( {\frac{{dx}}{{dt}}={A\omega}\cos({\omega t}+\varphi )} \), \( {\frac{d^{{2}}x}{d^{{2}}t}=-{A\omega}^{{2}}\sin({\omega t}+\varphi )} \) i podstawiamy do równania ( 1 ), które przyjmuje postać

(3)

\( \left(\omega _{{0}}^{{2}}-\omega^{{2}}\right)A\sin({\omega t}+\varphi )+\frac{\omega}{\tau }A\cos({\omega t}+\varphi )=\alpha_{{0}}\sin{\omega t} \)

Równanie to przekształcamy korzystając ze związków

(4)

\( \begin{matrix}{\sin({\omega t}+\varphi)=\sin{\omega t}\cos\varphi+\cos{\omega t}\sin\varphi }\\ {\cos({\omega t}+\varphi )=\cos{\omega t}\cos\varphi -\sin{\omega t}\sin\varphi} \end{matrix} \)

Otrzymujemy równanie

(5)

\( \begin{matrix}{\left[\left(\omega _{{0}}^{{2}}-\omega^{{2}}\right)\cos\varphi -\frac{\omega }{\tau }\sin\varphi\right]A\sin{\omega t}+\left[\left(\omega_{{0}}^{{2}}-\omega ^{{2}}\right)\sin\varphi -\frac{\omega }{\tau}\cos\varphi \right]A\cos{\omega t}=}\alpha _{{0}}\sin{\omega t}\end{matrix} \)

Powyższa równość może być spełniona tylko, gdy czynniki stojące przy funkcji \( \sin\omega t \) i \( \cos\omega t \) po obu stronach równania będą sobie równe. Ten warunek oznacza, że czynnik przy \( \cos\omega t \) ma być równy zeru co można zapisać jako

(6)

\( \frac{\sin\varphi }{\cos\varphi}={tg}\varphi =\frac{\omega /\tau }{\omega_{{0}}^{{2}}-\omega ^{{2}}}=\frac{2{{\beta\omega }}}{\omega _{{0}}^{{2}}-\omega ^{{2}}} \)

Z tego warunku znamy już \( \varphi \). Teraz wyznaczamy amplitudę porównując czynniki przy funkcji \( \sin\omega t \) w równaniu ( 5 ) i podstawiając odpowiednie wyrażenia za \( \cos\varphi \) i \( \sin\varphi \).
Otrzymujemy wyrażenie

(7)

\( A=\frac{\alpha _{{0}}}{[(\omega _{{0}}^{{2}}-\omega^{{2}})^{{2}}+(\omega /\tau )^{{2}}]^{{1/2}}}=\frac{\alpha_{{0}}}{[(\omega _{{0}}^{{2}}-\omega ^{{2}})^{{2}}+4\beta ^{{2}}\omega^{{2}}]^{{1/2}}} \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Fizyka

Dodatek: Amplituda i faza w ruchu harmonicznym wymuszonym